Question

【題目】如圖，在五面體中，平面，平面，.

（1）求證：；

（2）若，，且二面角的大小為，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）由兩條直線同時垂直平面得兩直線平行，再利用線面平行的性質(zhì)定理，即可證明線線平行；

（2）如圖，取的中點(diǎn)為，連接,設(shè)與的交點(diǎn)為，連接,利用二面角的知識，求出，連接,再利用線面垂直推導(dǎo)線線垂直和二面角的知識，得出即為所求角，把對應(yīng)值代入即可得答案.

（1）∵面，面，

∴

又面，面，

∴面

又面，面面，

∴

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接,

設(shè)與的交點(diǎn)為，連接,

∵面，面，∴，．

∵，∴，．

又面，面，且面面．

∴二面角的平面角．

又在中，，

∴是邊長為2的正三角形，

∴,

∵平面，

∴,

∵,

∴面，

由（1）知，又，，

∴四邊形為正方形，

∴，又，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∴面，

∴，

取的中點(diǎn)為，連接,

∴，

∵ ，

∴面,

∴,

∴即為二面角所成的平面角，

∵是邊長為2的正三角形，四邊形為正方形，

∴，,

∴，

∴，

∴二面角的平面角大小為.