Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=

f(x)

x-1

．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點．

Answer 1

（1）∵關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），
即不等式x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集為（m，m+1），
∴x²+（a+1-2m）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）．
∴x²+（a+1-2m）x+m²+m=x²-（2m+1）x+m（m+1）．
∴a+1-2m=-（2m+1）．
∴a=-2．
（2）由（1）得g(x)=

f(x)

x-1

=

x2-2x+m+1

x-1

=(x-1)+

m

x-1

．
∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=(x-1)+

m

x-1

-kln（x-1）的定義域為（1，+∞）．
∴φ'（x）=1-

m

(x-1)2

-

k

x-1

=

x2-(2+k)x+k-m+1

(x-1)2

．
方程x²-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判別式△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m．
①當(dāng)m＞0時，△＞0，
方程（*）的兩個實根為x1=

2+k- k2+4m

2

＜1，x2=

2+k+ k2+4m

2

＞1，
則x∈（1，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數(shù)φ（x）在（1，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)φ（x）有極小值點x₂．
②當(dāng)m＜0時，由△＞0，得k＜-2

-m

或k＞2

-m

，
若k＜-2

-m

，則x1=

2+k- k2+4m

2

＜1，x2=

2+k+ k2+4m

2

＜1，
故x∈（1，+∞）時，φ'（x）＞0，
∴函數(shù)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)φ（x）沒有極值點．
若k＞2

-m

時，x1=

2+k- k2+4m

2

＞1，x2=

2+k+ k2+4m

2

＞1，
則x∈（1，x₁）時，φ'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數(shù)φ（x）在（1，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)φ（x）有極小值點x₂，有極大值點x₁．
綜上所述，當(dāng)m＞0時，k取任意實數(shù)，函數(shù)φ（x）有極小值點x₂；
當(dāng)m＜0時，k＞2

-m

，函數(shù)φ（x）有極小值點x₂，有極大值點x₁．
（其中x1=

2+k- k2+4m

2

，x2=

2+k+ k2+4m

2

）．