【答案】
分析:法一:(Ⅰ)連接AC、BD,設(shè)AC∩BD=O.證明PQ⊥平面ABCD,只需說明P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上,QO⊥平面ABCD即可;
(Ⅱ)直線CA、DB、QP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,通過
,求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)設(shè)
是平面QAD的一個(gè)法向量,利用
,求點(diǎn)P到平面QAD的距離.
法二:(Ⅰ).取AD的中點(diǎn)M,連接PM,QM.要證PQ垂直平面ABCD,只需證明PQ垂直平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線AD,AB即可.
(Ⅱ).連接AC、BD設(shè)AC∩BD=O,.∠BPN(或其補(bǔ)角)是異面直線AQ與PB所成的角,利用余弦定理解三角形BPN,求出異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ).由(Ⅰ)知,AD⊥平面PQM,所以平面PQM⊥平面QAD、過P作PH⊥QM于H,則PH⊥平面QAD,所以PH的長為點(diǎn)P到平面QAD的距離.解三角形PHQ即可.
解答:解法一:(Ⅰ)連接AC、BD,設(shè)AC∩BD=O.由P-ABCD與Q-ABCD
都是正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上,所以PQ⊥平面ABCD.
(II)由題設(shè)知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
由(I),PQ⊥平面ABCD,
故可以分別以直線CA、DB、QP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P(0,0,1),Q(0,0,-2),
所以
,
,
于是
.
從而異面直線AQ與PB所成的角是
.
(Ⅲ).由(Ⅱ),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,-
,0),
,
,
設(shè)
是平面QAD的一個(gè)法向量,
由
得
.
取x=1,得
.
所以點(diǎn)P到平面QAD的距離
..
解法二:(Ⅰ).取AD的中點(diǎn)M,連接PM,QM.
因?yàn)镻-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,
所以AD⊥PM,AD⊥QM.從而AD⊥平面PQM.
又PQ?平面PQM,所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB,
所以PQ⊥平面ABCD、
(Ⅱ).連接AC、BD設(shè)AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在
PQ上,從而P、A、Q、C四點(diǎn)共面.
取OC的中點(diǎn)N,連接PN.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213439671457942/SYS201310232134396714579017_DA/16.png">,
所以
,
從而AQ∥PN.∠BPN(或其補(bǔ)角)是異面直線AQ
與PB所成的角.連接BN,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213439671457942/SYS201310232134396714579017_DA/18.png">.
所以
.
從而異面直線AQ與PB所成的角是
.
(Ⅲ).由(Ⅰ)知,AD⊥平面PQM,所以平面PQM⊥平面QAD、過P作PH⊥QM
于H,則PH⊥平面QAD,所以PH的長為點(diǎn)P到平面QAD的距離.
連接OM,則
.
所以∠MQP=45°,
又PQ=PO+QO=3,于是
.
即點(diǎn)P到平面QAD的距離是
點(diǎn)評:本題考查直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,考查空間想象能力,邏輯思維能力,計(jì)算能力,是中檔題.