【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若在上恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1) (2) 詳見解析(3)
【解析】
試題分析:(1)由導數(shù)幾何意義得為切線斜率 ,再根據(jù)點斜式求切線方程(2) 求函數(shù)單調(diào)性,先求函數(shù)導數(shù): ,再根據(jù)導函數(shù)零點及符號變化規(guī)律,進行分類討論:當時, ,因此在和上單調(diào)遞增;當時,導函數(shù)有兩個零點,因此先增再減再增(3)本題不宜變量分離,故直接研究函數(shù),先求導數(shù),導函數(shù)有兩個零點,再根據(jù)兩個零點大小分類討論:時,,;時,;時,
試題解析::(1)當 時,,
所以,函數(shù)在點處的切線方程為
即:
(Ⅱ)函數(shù)的定義域為:
當時,恒成立,所以,在和上單調(diào)遞增
當時,令,即:,
,
所以,單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.
(Ⅲ)因為在上恒成立,有
在上恒成立.
所以,令,
則.
令則
若,即時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,又
所以,在上恒成立;
若,即時,當時,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減
所以,在上的最小值為,
因為所以不合題意.
即時,當時,單調(diào)遞增,
當時,單調(diào)遞減,
所以,在上的最小值為
又因為,所以恒成立
綜上知,的取值范圍是
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acsin C=(a2+c2-b2)·sin B.
(1)若C=,求A的大;
(2)若a≠b,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一個水輪的半徑為4m,水輪圓心O距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動5圈,如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點p0)開始計算時間.
(1)將點p距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù);
(2)點p第一次到達最高點大約需要多少時間?
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【題目】(本小題滿分13分)已知橢圓C的中心在坐標原點,離心率,且其中一個焦點與拋物線的焦點重合.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過點的動直線l交橢圓C于A、B兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點T,使得無論l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過點T,若存在,求出點T的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】簡陽羊肉湯已入選成都市級非遺項目,成為簡陽的名片。當初向各地作了廣告推廣,同時廣告對銷售收益也有影響。在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.
(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,計算圖中各小長方形的寬度;
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計投入4萬元廣告費用之后,并將各地銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);
(Ⅲ)按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入x(單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益y(單位:百萬元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
表中的數(shù)據(jù)顯示,與之間存在線性相關關系,請將(Ⅱ)的結(jié)果填入空白欄,并計算關于的回歸方程.回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為 , .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖像恒在直線下方,求的取值范圍.
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【題目】已知圓C:x2+y2=9,點A(-5,0),直線l:x-2y=0.
(1)求與圓C相切,且與直線l垂直的直線方程;
(2)在直線OA上(O為坐標原點),存在定點B(不同于點A),滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點B的坐標.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=(2-2m)x-f(x).
① 若函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍;
② 求函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上的最小值.
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