Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，點E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，結合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根據面面垂直的判定定理，可證出平面PAB⊥平面PCB．
（Ⅱ）利用線面垂直的性質，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根據題中數(shù)據結合平行線分線段成比例，算出DC=2AB，從而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由線面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，求出平面AEC、平面PBC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵PC⊥AD，
∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=

π

4

，
∴∠DCA=∠BAC=

π

4

，
又AC⊥AD，
故△DAC為等腰直角三角形，
∴DC=

2

AC=

2

（

2

AB）=2AB．
連接BD，交AC于點M，則

DM

MB

=

DC

AB

=2．
連接EM，在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，∴PD∥EM，
又PD?/平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．…（8分）
（Ⅲ）解：以A為坐標原點，AB，AP所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）

設

n1

=（x，y，1）為平面AEC的一個法向量，則

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

AE

，
∵

AC

=（3，3，0），

AE

=（0，2，1），
∴

x+y=0 2y+1=0

解得x=

1

2

，y=-

1

2

，
∴

n1

=（

1

2

，-

1

2

，1）．
設

n2

=（x′，y′，1）為平面PBC的一個法向量，則

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

BP

，
又

BC

=（3，0，0），

BP

=（0，-3，3），
∴

x′=0 -3y′+3=0

，
解得x′=0，y′=1，
∴

n2

=（0，1，1）．
（取PB中點為F，連接AF可證

AF

為平面PBC的一個法向量．）
∵cos＜

n1

，

n2

＞=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

3

6

，
∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為

3

6

..…（13分）
注：以其他方式建系的參照給分．

點評：本題給出底面是直角梯形的四棱錐，求證線面平行和面面垂直，著重考查了空間線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質和面面垂直的判定，考查面面角等知識，屬于中檔題．