Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，四邊形AA₁C₁C也為菱形且∠A₁AC=∠DAB=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）證明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
（Ⅲ）在棱CC₁上是否存在點P，使得平面PDA₁和平面DA₁C₁所成銳二面角的余弦值為

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？若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接BD，由已知條件推導出BD⊥平面AA₁C₁C，由此能證明BD⊥AA₁．
（Ⅱ）由已知條件推導出AB₁∥平面DA₁C₁，B₁C∥平面DA₁C₁，由此能夠證明平面AB₁C∥平面DA₁C₁．
（Ⅲ）設AC交BD于O，連接A₁O，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，設OB=1利用向量法能求出P為CC₁的中點時，平面PDA₁和平面DA₁C₁所成的銳二面角的余弦值為

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．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD，∵平面ABCD為菱形，∴BD⊥AC，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且交線為AC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
又∵A₁A?平面AA₁C₁C，
∴BD⊥AA₁．…（4分）
（Ⅱ）證明：由棱柱的性質知B₁C₁∥AD，且B₁C₁=AD
∴四邊形AB₁C₁D為平行四邊形，
∴AB₁∥DC₁，∵AB₁在平面DA₁C₁外，DC₁?平面DA₁C₁
∴AB₁∥平面DA₁C₁，…（5分）
同理B₁C∥平面DA₁C₁，…（6分）
∵AB₁∩B₁C=B₁，∴平面AB₁C∥平面DA₁C₁．…（7分）
（Ⅲ）解：設AC交BD于O，連接A₁O，
∵菱形AA₁C₁C，且∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC是等邊三角形，且O為AC中點，∴A₁O⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，
∴A₁O⊥平面ABCD，又BD⊥AC，
如圖，以O為坐標原點建立空間直角坐標系，設OB=1，…（8分）
則OA=

3

，AA1=2

3

，A1O=3，
∴B（1，0，0），D（-1，0，0），A（0，-

3

，0），
C（0，

3

，0），A₁（0，0，3），
∴

A1C1

=

AC

=(0，2

3

，0)，

DA1

=(1，0，3)，

CC1

=(0，

3

，3)，
設

CP

=λ

CC1

=(0，

3

λ，3λ)，
則

DP

=

DC

+

CP

=(1，

3

λ+

3

，3λ)，
設平面DA₁C₁和平面PDA₁的法向量分別為：

m

=(x1，y1，z1)，

n

=(x2，y2，z2)，
∵

m

•

A1C1

=2

3

y1=0，

m

•

DA1

=x1+3z1=0，
∴

m

=(-3，0，1)，

n • DA1 =x2+3z2=0， n • DP =x2+( 3 λ+ 3 )y2+3λz2=0

∴

n

=(-3，

3 - 3 λ

1+λ

，1)，…（10分）
∵|cos＜

m

，

n

＞|=|

9+1

10 • 10+ 3(1-λ)2 (1+λ)2

|=

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，
∴2λ²-5λ+2=0，解得λ=

1

2

或λ=2（舍去），…（11分）
當P為CC₁的中點時，平面PDA₁和平面DA₁C₁所成的銳二面角的余弦值為

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．…（12分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查平面與平面平行的證明，考查滿足條件的點的位置的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．