Question

【題目】已知在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且滿足（2c﹣b）tanB=btanA．
（1）求A的大小；
（2）求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（2c﹣b）tanB=btanA，及正弦定理得：

（2sinC﹣sinB） =sinB ，

∵sinB≠0，

∴（2sinC﹣sinB） = ，

化簡(jiǎn)得：2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB，由A+B+C=π，

得到：2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，

由sinC≠0，得到cosA= ，

∵A∈（0，π），

∴A=

（2）解：∵ = = +2+ =﹣2cosB+ +2

= sinB﹣2cosB+2= sin（B﹣ ）+2，

∵B∈（0， ），B﹣ ∈（﹣ ， ），

∴sin（B﹣ ）∈（﹣ ， ），

∴ sin（B﹣ ）+2∈（0，4）

【解析】（1）根據(jù)正弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)已知的等式（2c﹣b）tanB=btanA，由sinB不為0，在等式兩邊都除以sinB后，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再由sinC不為0，兩邊都除以sinC，得到cosA的值，然后由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角A的度數(shù)．（2）由余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)所求可得 sin（B﹣ ）+2，結(jié)合B的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．