Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)弦AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N．

(1)求證：直線MN必過定點(diǎn)，并寫出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)分別以AN和CD為直徑作圓，求兩圓公共弦中點(diǎn)H的軌跡方程．

Answer 1

答案：(1)設(shè)直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，F(xiàn)(1，0)．聯(lián)立直線AB與拋物線的方程解得M()，將k換成得N(2k²+1，-2k)，由兩點(diǎn)式得直線MN的方程為(1-k²)y=k(x-3)，則直線MN過定點(diǎn)T(3，0)．

(2)由拋物線的性質(zhì)知，以AB、CD為直徑的圓肘、圓N的半徑分別為x_M+1，x_N+1，得圓M、圓N的方程分別為：

(x-x_M)²+(y-y_M)²=(x_M+1)²，

(x-x_N)²+(y-y_N)²=(x_N+1)²．

兩式相減得公共弦所在直線方程為

(x_M-x_N)x+(y_M-y_N)y=()-(x_M-x_N)=(-4k²)-(-2k²)=0，

則公共弦過原點(diǎn)0，所以∠OHT=90°．

于是點(diǎn)H的軌跡是以DT為直徑的圓(除去直徑的兩個端點(diǎn))，其軌跡方程為(x)²+y²= (y≠0)．