Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足（且）.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；

（2）若，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為.試探究平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使為定值，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在點(diǎn)或

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，（且），化簡可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)，

,假設(shè)在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得（其中為正常數(shù)）

化簡，整理可得對于任意滿足的恒成立進(jìn)而求出，即可求出結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)，（且）

化簡得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：

表示以為圓心，為半徑的圓.

（2）由（1）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)

假設(shè)在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得（其中為正常數(shù)）

化簡得：

又

對于任意滿足的恒成立

解得或

∴存在點(diǎn)或滿足題意