Question

設(shè)橢圓+y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-c,0）與F₂（c,0）(c＞0),且橢圓上存在點(diǎn)M，使得·=0.

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）在直線l:y=x+2上存在一點(diǎn)E，使得?|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此時(shí)橢圓的方程；

（3）在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足=，且使得過(guò)點(diǎn)N（0，-1）、Q的直線，有·=0？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解析：（1）∵|MF₁|+|MF₂|=2,|MF₁|²+|MF₂|²=4m,

而|MF₁|²+|MF₂|²≥，

∴4m≥2(m+1),解得m≥1.

（2）由

得(m+2)x²+4(m+1)x+3(m+1)=0.

Δ=16(m+1)²-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0.

解得m≥2或m≤-1（舍去），∴m≥2.

此時(shí)|EF₁|+|EF₂|=2m+1≥2,

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)|EF₁|+|EF₂|取得最小值2，此時(shí)橢圓方程為+y²=1.

（3）設(shè)兩點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），中點(diǎn)Q（x,y），

則+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0,

∴AB中點(diǎn)Q的軌跡為直線

y=-x                                                                                                          ①

在橢圓內(nèi)的部分.

又由·=0，得過(guò)點(diǎn)N（0，-1），且斜率為-的直線方程為y=-x-1,          ②

由①②可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（,）,

∵點(diǎn)Q必在橢圓內(nèi)，

∴＜1.解得k²＜1,

又k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1).