已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1    (a＞b＞0)
（1）已知橢圓的長軸是焦距的2倍，右焦點坐標為F（1，0），寫出橢圓C的方程；
（2）設K是（1）中所的橢圓上的動點，點O是坐標原點，求線段KO的中點B的軌跡方程；
（3）設點P是（1）中橢圓C 上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，KPN試探究kPM•KPN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論．
（1）2a=2（2c），（1分）
c=1，（2分）
a2=4b2=3，（3分）
橢圓C的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．（4分）
（2）設KO的中點為B（x，y）則點K（2x，2y），（6分）
把K的坐標代入橢圓
x2
4
+
y2
3
=1中，
得
(2x)2
4
+
(2y)2
3
=1（8分）
線段KF1的中點B的軌跡方程為x2+
y2
3
4
=1．（10分）
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱
設M（x0，y0）N（-x0，-y0），p（x，y）（11分）
M，N，P在橢圓上，應滿足橢圓方程，
得
x02
4
+
y02
3
=1    ，
x2
4
+
y2
3
=1，（12分）
kPM=
y-y0
x-x0
      KPN=
y+y0
x+x0
，（13分）
kPM•KPN=
y-y0
x-x0
 •
y+y0
x+x0
 =
y2-y02
x2-x02
=-
3
4
．（15分）
故：kPM•KPN的值與點P的位置無關，同時與直線L無關．（16分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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