Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E ，F(xiàn) ，G ，H ，M ，N 分 別是正方體六個(gè)面的中心，求證：平面EFG ∥平面HMN.

Answer 1

證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD₁所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖．
不妨設(shè)正方體的棱長為2，則E(1，1，0)，F(xiàn)(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，2，1)，M(1，1，2)，N(0，1，1).
所以=(0，-1，1)，
=(1，1，0)，
=（0，-1，1），
=(1，1，0)，
所以
∴EF∥HM，F(xiàn)G∥NH.
因?yàn)镠M平面HMN，NH平面HMN，
所以EF∥平面HMN,FG平面HMN.
因?yàn)镋F平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，
EF∩FG=F，
所以平面EFG∥平面HMN.