設(shè)橢圓=1的焦點為F1、F2,P是橢圓上任意一點,一條斜率為的直線交橢圓于A、B兩點,如果當(dāng)a變化時,總可同時滿足:

①∠F1PF2的最大值為;

②直線l:ax+y+1=0平分線段AB.

求a的取值范圍.

a>.


解析:

由橢圓的定義及余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-

2|PF1|·|PF2|(1+cos∠F1PF2).

∴2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2)=4a2-4c2=4b2.

∵|PF1||PF2|≤()2,

∴2()2(1+cos∠F1PF2)≥4b2.

∴cos∠F1PF2,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時取等號.由于∠F1PF2的最大值為,

=.

∴3a2=4b2,從而橢圓方程為3x2+4y2=3a2.

設(shè)AB的方程為y=x+m,代入橢圓方程得4x2+4mx+4m2-3a2=0.

由Δ=16m2-4×4(4m2-3a2)>0a2>m2.而AB的中點M(-,)在l上,

∴-+1=0,解得m=.

代入a2>m2,解得a>.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
5
+
y2
3
=1

(1)在直線l:x-y+2=0上取一點P,過點P且以橢圓E的焦點為焦點的橢圓中,求長軸最短的橢圓C的方程;
(2)設(shè)P,Q,R,N都在橢圓C上,F(xiàn)為右焦點,已知
PF
FQ
,
RF
FN
PF
RF
=0,求四邊形PRQN面積S的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

點A、B分別是以雙曲線
x2
16
-
y2
20
=1
的焦點為頂點,頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓C上,且位于x軸上方,
PA
PF
=0

(I)求橢圓C的方程;
(II)求點P的坐標;
(III)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,點M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到M的距離d的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•九江一模)設(shè)點E、F分別是橢圓C:
x2
a2
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點,過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點,△ABF是正三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)橢圓C的焦距為2,過點P(3,0)且不與坐標軸重合的直線交橢圓C于M、N兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為M',求證:直線M'N過x軸一定點,并求此定點坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=8x的焦點為F.橢圓Σ的中心在坐標原點,離心率e=
1
2
,并以F為一個焦點.
(1)求橢圓Σ的標準方程;
(2)設(shè)A1A2是橢圓Σ的長軸(A1在A2的左側(cè)),P是拋物線C在第一象限的一點,過P作拋物線C的切線,若切線經(jīng)過A1,求證:tan∠A1PA2=
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的右頂點為P(1,0),過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線C2:y=x2+h(h∈R)的焦點為F,過F點的直線l交拋物線與A、B兩點,過A、B兩點分別作拋物線C2的切線交于Q點,且Q點在橢圓C1上,求△ABQ面積的最值,并求出取得最值時的拋物線C2的方程.

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同步練習(xí)冊答案