設(shè)橢圓=1的焦點(diǎn)為F1、F2,P是橢圓上任意一點(diǎn),一條斜率為的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),如果當(dāng)a變化時(shí),總可同時(shí)滿足:

①∠F1PF2的最大值為;

②直線l:ax+y+1=0平分線段AB.

求a的取值范圍.

a>.


解析:

由橢圓的定義及余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-

2|PF1|·|PF2|(1+cos∠F1PF2).

∴2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2)=4a2-4c2=4b2.

∵|PF1||PF2|≤()2,

∴2()2(1+cos∠F1PF2)≥4b2.

∴cos∠F1PF2≥,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào).由于∠F1PF2的最大值為,

∴=.

∴3a2=4b2,從而橢圓方程為3x2+4y2=3a2.

設(shè)AB的方程為y=x+m,代入橢圓方程得4x2+4mx+4m2-3a2=0.

由Δ=16m2-4×4(4m2-3a2)>0a2>m2.而AB的中點(diǎn)M(-,)在l上,

∴-+1=0,解得m=.

代入a2>m2,解得a>.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
5
+
y2
3
=1．
（1）在直線l：x-y+2=0上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且以橢圓E的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓中，求長(zhǎng)軸最短的橢圓C的方程；
（2）設(shè)P，Q，R，N都在橢圓C上，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，已知
PF
∥
FQ
，
RF
∥
FN
且
PF
•
RF
=0，求四邊形PRQN面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

點(diǎn)A、B分別是以雙曲線
x2
16
-
y2
20
=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且位于x軸上方，
PA
•
PF
=0
（I）求橢圓C的方程；
（II）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（III）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•九江一模）設(shè)點(diǎn)E、F分別是橢圓C：
x2
a2
+ 
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于橢圓長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF是正三角形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)橢圓C的焦距為2，過(guò)點(diǎn)P（3，0）且不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'，求證：直線M'N過(guò)x軸一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F．橢圓Σ的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=
1
2
，并以F為一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓Σ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A1A2是橢圓Σ的長(zhǎng)軸（A1在A2的左側(cè)），P是拋物線C在第一象限的一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線C的切線，若切線經(jīng)過(guò)A1，求證：tan∠A1PA2=
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為P（1，0），過(guò)C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C2：y=x2+h（h∈R）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的直線l交拋物線與A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C2的切線交于Q點(diǎn)，且Q點(diǎn)在橢圓C1上，求△ABQ面積的最值，并求出取得最值時(shí)的拋物線C2的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案