Question

已知橢圓E：

x2

5

+

y2

3

=1．
（1）在直線l：x-y+2=0上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且以橢圓E的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓中，求長(zhǎng)軸最短的橢圓C的方程；
（2）設(shè)P，Q，R，N都在橢圓C上，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，已知

PF

∥

FQ

，

RF

∥

FN

且

PF

•

RF

=0，求四邊形PRQN面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程求出其兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用在直線上取一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)距離之和最小的方法得到長(zhǎng)軸最短時(shí)的橢圓C的長(zhǎng)半軸，進(jìn)一步求出短半軸，則橢圓C的方程可求；
（2）當(dāng)直線PQ的斜率存在且不等于0時(shí)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，
同理求出|RN|，代入平行四邊形面積公式后利用基本不等式求面積的范圍，當(dāng)斜率不存在或斜率等于0時(shí)直接由面積公式求面積，取并集后可得答案．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E：

x2

5

+

y2

3

=1的左右焦點(diǎn)為F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
又設(shè)F₁關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)F1′(-2，2-

2

)．
當(dāng)點(diǎn)P為F1′F1與l的交點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)軸最短．
此時(shí)，2a=|F1′F1|=

( 2 -2)2+(0-2+ 2 )2

=2

3

∴a²=3，∵c²=2，∴b²=1．
∴橢圓C：

x2

3

+y2=1；
（2）當(dāng)直線PQ的斜率k存在，且k≠0時(shí)，設(shè)直線PQ方程為y=k（x-

2

）
由

y=k(x- 2 ) x2+3y2=3

，得(1+3k2)x2-6

2

k2x+6k2-3=0．
x1+x2=

6 2 k2

1+3k2

，x1x2=

6k2-3

1+3k2

．
|PQ|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 6 2 k2 1+3k2 )2-4× 6k2-3 1+3k2

=2

3

×

k2+1

3k2+1

．
同理求得|RN|=2

3

×

(- 1 k )2+1

3×(- 1 k )2+1

=2

3

×

1+k2

3+k2

．
∴S=

1

2

×|PQ|×|RN|=

1

2

×12×

k2+1

3k2+1

×

k2+1

3+k2

=2-

8k2

3k4+10k2+3

=2-

8

3(k2+ 1 k2 )+10

∵k2+

1

k2

∈[2，+∞)，∴S∈[

3

2

，2)．
當(dāng)k不存在或k=0時(shí)，S=

1

2

×2a×

2b2

a

=2b2=2．
綜上，S∈[

3

2

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線和圓錐曲線的綜合題，考查了圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，訓(xùn)練了利用弦長(zhǎng)公式求線段的長(zhǎng)度，考查了平行四邊形的面積公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是綜合性較強(qiáng)的題目．