Question

（2009•盧灣區(qū)一模）對于函數(shù)f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），我們可以發(fā)現(xiàn)f（n）有許多性質(zhì)，如：f（2k）=1（k∈N^*）等，下列關(guān)于f（n）的性質(zhì)中一定成立的是（　　）

A．f（n+1）-f（n）=1

B．f（n+k）=f（n）（k∈N^*）

C．α^f（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）

D．α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）

Answer 1

分析：對于函數(shù)f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），取一些特殊值n=1，2，3，4，…時(shí)觀察其函數(shù)值的特點(diǎn)，再對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可．

解答：解：對于函數(shù)f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），當(dāng)n=1，2，3，4，…時(shí)的函數(shù)值為：0，1，0，1，…
對于A：f（3）-f（2）=-1不成立，故錯(cuò)；
對于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故錯(cuò)；
對于C：α^f（n）=

α，n為偶數(shù) 1，n為奇數(shù)

，f（n+1）+αf（n）=

α，n為偶數(shù) 1，n為奇數(shù)

成立，故正確；
對于D：α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故錯(cuò)；
故選C．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的表示方法、函數(shù)周期性的應(yīng)用、數(shù)列的表示方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．