Question

已知a，b，c∈N^*，方程ax²+bx+c=0在區(qū)間（-1，0）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求a+b+c的最小值．

Answer 1

分析：由題意可得，可得函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在區(qū)間（-1，0）上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得f（-1）=a+c-b＞0，且f（0）=c＞0，且△=b²-4ac＞0，且x1+x2=-

b

a

∈（-2，0），且x₁•x₂=

c

a

∈（0，1），可得c的最小值為1，且

a+1＞b a＞c=1 b2＞4a

．
由此求得正整數(shù)a、b的最小值，可得a+b+c的最小值．

解答：解：設(shè)x₁ 和x₂方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)相異根，由a，b，c∈N^*，
兩個(gè)根都在區(qū)間（-1，0）上，
可得函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在區(qū)間（-1，0）上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
故有f（-1）=a+c-b＞0，且f（0）=c＞0，且△=b²-4ac＞0，
且 x1+x2=-

b

a

∈（-2，0），且x₁•x₂=

c

a

∈（0，1）．
故c的最小值為1，故有

a+1＞b a＞c=1 b2＞4a

．
當(dāng)a=2時(shí)，正整數(shù)b不存在；當(dāng)a=3時(shí)，正整數(shù)b不存在；
當(dāng)a=4時(shí)，正整數(shù)b不存在；當(dāng)a=5時(shí)，存在正整數(shù)b=5．
綜上可得，c的最小值為1，a的最小值為5，b的最小值為5，
故a+b+c的最小值為1+5+5=11．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題及根的判別式，得到關(guān)于a、b、c的關(guān)系式是解答此題的關(guān)鍵，屬于中檔題．