Question

設a≥0，則

2 a+2 a2+1

2a+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,基本不等式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：由于a≥0，可令a=tanθ，θ∈[0，

π

2

)．通過化簡利用正弦函數(shù)的有界性即可得出．

解答： 解：∵a≥0，∴可令a=tanθ，θ∈[0，

π

2

)．
則y=

2 a+2 a2+1

2a+1

=

2 tanθ+2 1 cosθ

2tanθ+1

=

2 sinθ+2

2sinθ+cosθ

＞0，
化為(2y-

2

)sinθ+ycosθ=2，
∴

(2y- 2 )2+y2

≥2，
化為(5y+

2

)(y-

2

)≥0，
∴y≥

2

．當θ=

π

4

時，即a=1時取等號．
因此

2 a+2 a2+1

2a+1

的最小值是

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查了三角函數(shù)代換、正弦函數(shù)的有界性、三角函數(shù)的恒等變形等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．