Question

(本小題滿分11分)對于定義域為D的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當定義域是時，的值域也是．

則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）證明：是函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”．

（2）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）已知函數(shù)（）有“和諧區(qū)間”，當變化時，求出的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）區(qū)間是的一個“和諧區(qū)間”．

（2）函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）當時，取最大值.

【解析】本試題主要是結(jié)合了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域和值域的有關(guān)系概念，對于新定義“和諧區(qū)間”的理解和靈活的運用。

（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，并且滿足第二點又，，值域為，故得到結(jié)論。

（2）假設(shè)存在一個區(qū)間滿足題意，利用反比列函數(shù)的性質(zhì)可知，沒有和諧區(qū)間。

（3）根據(jù)已知條件可知，函數(shù)存在和諧區(qū)間，那么可以設(shè)出區(qū)間，再分析函數(shù)的單調(diào)性，得到定義域和值域的關(guān)系，進而得到結(jié)論。

解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增．

又，，值域為，

區(qū)間是的一個“和諧區(qū)間”．…………2分

（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故、是方程的同號的相異實數(shù)根．

無實數(shù)根，函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．………………5分

（3）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故、是方程，即的同號的相異實數(shù)根．

，，同號，只須，即或時，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”，，

當時，取最大值………………11分