Question

已知橢圓方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的左、右焦點，P是橢圓上任意一點，若

PF1

•

PF2

的取值范圍是[2，3]．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點為A，B，l是橢圓的右準(zhǔn)線，P是橢圓上任意一點，PA、PB分別交準(zhǔn)線l于M，N兩點，求

MF1

•

NF2

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），p（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，

PF1

•

PF2

=

x

2 0

+

y

2 0

-c2，由

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，知b²-c²≤

PF1

•

PF2

≤b²，由此能求出橢圓方程．
（2）利用（1）的條件，求得M、N點的坐標(biāo)，得出

MF1

=（-5，-

6y0

x0+2

），

MF2

=（-3，-

2y0

x0-2

），結(jié)合

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，由向量數(shù)量積運算化簡即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），p（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，
∴

PF1

•

PF2

=（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=

x

2 0

+

y

2 0

-c2，
∵

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，
∴

PF1

•

PF2

=

x

2 0

+b²-

b2

a2

x

2 0

-c²=

c2

a2

x

2 0

+b²-c²．
∵0≤x₀²≤a²，∴b²-c²≤

PF1

•

PF2

≤b²，
∴

b2=3 b2-c2=2

，∴b²=3，c²=1，∴a²=4，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）得A（-2，0），B（2，0），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），直線l的方程為x=4，設(shè)P（x₀，y₀），則

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，
∵k_PA=

y0

x0+2

，∴直線PA的方程為y=

y0

x0+2

（x+2），∴由

y= y0 x0+2 (x+2) x=4

得M（4，

6y0

x0+2

），
同理可得N（4，

2y0

x0-2

），
∴

MF1

=（-5，-

6y0

x0+2

），

MF2

=（-3，-

2y0

x0-2

），
∴

MF1

•

NF2

=15+

12 y 2 0

x 2 0 -4

=15+

12×3(1- x 2 0 4 )

x 2 0 -4

=15-9=6．

點評：本題考查直線 和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，屬于難題．