Question

7．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求二面角D-BC₁-C的大小．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-BC₁-C的大�。�

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），
設(shè)平面DBC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
又平面BCC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角D-BC₁-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角D-BC₁-C的大小為$arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．