Question

如圖，已知橢圓，梯形ABCD（AB∥CD∥y軸，|AB|＞|CD|）內(nèi)接于橢圓C．
（I）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，E為OF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)，若直線AB，CD分別經(jīng)過點(diǎn)E，F(xiàn)，且梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，求橢圓C的離心率；
（II）設(shè)H為梯形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正實(shí)數(shù)λ使得恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，可得|AE|=|ED|，由此建立方程，求得幾何量之間的關(guān)系，從而可求橢圓C的離心率；
（II）先確定H在x軸上，再利用韋達(dá)定理表示出m-n，進(jìn)而利用基本不等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）設(shè)F（c，0），則E（，0），D（c，），A（）
由題意，梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，則|AE|=|ED|，所以
化簡(jiǎn)得2a²=3c²，所以橢圓的離心率；
（II）根據(jù)對(duì)稱性知識(shí)，可得H在x軸上，設(shè)H（x，0），則|x|=d
設(shè)直線BD的方程為x=ty+x，代入橢圓方程，消去x得（a²+b²t²）y²+y+=0
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=-
由題意，m=|y₁|，n=|y₂|，且y₁，y₂異號(hào)
∵m＞n＞0
∴m-n=|y₁+y₂|=|-|=
∴=≤
∴存在正實(shí)數(shù)λ使得恒成立，且λ的最小值為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率，考查存在性問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．