（2012•河北模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，梯形ABCD（AB∥CD∥y軸，|AB|＞|CD|）內(nèi)接于橢圓C．
（I）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，E為OF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)，若直線AB，CD分別經(jīng)過點(diǎn)E，F(xiàn)，且梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，求橢圓C的離心率；
（II）設(shè)H為梯形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正實(shí)數(shù)λ使得
m-n
d
≤
λb
a
恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（I）利用梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，可得|AE|=|ED|，由此建立方程，求得幾何量之間的關(guān)系，從而可求橢圓C的離心率；
（II）先確定H在x軸上，再利用韋達(dá)定理表示出m-n，進(jìn)而利用基本不等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）設(shè)F（c，0），則E（
c
2
，0），D（c，
b2
a
），A（
c
2
，
b
4a2-c2
2a
）
由題意，梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，則|AE|=|ED|，所以
b2(4a2-c2)
4a2
=
c2
4
+
b4
a2

化簡(jiǎn)得2a2=3c2，所以橢圓的離心率e=
c
a
=
6
3
；
（II）根據(jù)對(duì)稱性知識(shí)，可得H在x軸上，設(shè)H（x0，0），則|x0|=d
設(shè)直線BD的方程為x=ty+x0，代入橢圓方程，消去x得（a2+b2t2）y2+2x0tb2y+
b2x
2
0
-a2b2=0
設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），則y1+y2=-
2x0tb2
a2+b2t2

由題意，m=|y1|，n=|y2|，且y1，y2異號(hào)
∵m＞n＞0
∴m-n=|y1+y2|=|-
2x0tb2
a2+b2t2
|=
2d|t|b2
a2+b2t2

∴
m-n
d
=
2|t|b2
a2+b2t2
=
2b2
a2
|t|
|+b2|t|
≤
2b2
2ab
=
b
a

∴存在正實(shí)數(shù)λ使得
m-n
d
≤
λb
a
恒成立，且λ的最小值為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率，考查存在性問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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2
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4
5
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