【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于AB兩點(diǎn),以線段AB為直徑的圓交x軸于MN兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q.若拋物線C上存在一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離等于3.則下列說(shuō)法正確的是(

A.拋物線的方程是B.拋物線的準(zhǔn)線是

C.的最小值是D.線段AB的最小值是6

【答案】BC

【解析】

求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程,運(yùn)用拋物線的定義可得p,進(jìn)而得到拋物線方程和準(zhǔn)線方程;求得,設(shè),,直線l的方程為,聯(lián)立拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得線段AB的最小值,可得圓Q的半徑,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo),運(yùn)用直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義,可得所求的最小值.

拋物線的焦點(diǎn)為,得拋物線的準(zhǔn)線方程為,

點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3,可得,解得,

則拋物線的方程為,準(zhǔn)線為,故A錯(cuò)誤,B正確;

由題知直線的斜率存在,,

設(shè),,直線的方程為

,消去

所以,,

所以,所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,

,故線段AB的最小值是4,即D錯(cuò)誤;

所以圓Q的半徑為,

在等腰中,,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

所以的最小值為,即C正確,

故選:BC.

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A. B. C. D.

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A. B. C. 0 D. 2

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