Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，前n項(xiàng)和
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，令，數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，
∴，
∵a₁＞0，∴a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=，
化簡(jiǎn)，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足，
∴，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+3+3²+…+3^n-1
=
=．
（3）∵=，
∴，
∴，
則
=
=，
∴．
分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，得a₁=1．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能求出a_n=n．
（2）由數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足，知，由此利用累加法能夠求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由=，知，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出T_n，進(jìn)而證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和前n項(xiàng)和的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法、裂項(xiàng)求和法的靈活運(yùn)用．