Question

【題目】如圖四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD= ．
（1）求三棱錐A﹣PCD的體積；
（2）問：棱PB上是否存在點E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出 的值，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：取CD中點G，連接AG，

∵CD=2AB，AB∥CD，

∴AB∥GC，AB=GC，

∴四邊形AGCB為平行四邊形，

∴∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，

在Rt△AGD中，∵AG=BC=1，DG= CD=1，

∴AD= = ，

∴PD2=3=PA2+AD2，

∴∠PAD=90°，即PA⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PA⊥平面ABCD，

∵S△ACD= =1，

∴VA﹣PCD=VP﹣ACD=

= = ．

（2）解：棱PB上存在點E，當 = 時，PD∥平面ACE．

證明：連接BD交AC于點O，連接OE．

∵AB∥CD，CD=2AB，

∴ = = ，

∴ = ，又 ，

∴ ，

∴OE∥DP，

又OE平面ACE，PDACE，

∴PD∥ACE．

【解析】（1）取CD中點G，連接AG，利用已知可得：四邊形AGCB為平行四邊形，∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，在Rt△AGD中，AG=BC=1，DG= CD=1，利用勾股定理與逆定理可得：PA⊥AD．利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：PA⊥平面ABCD，利用VA﹣PCD=VP﹣ACD= ，即可得出．（2）棱PB上存在點E，當 = 時，PD∥平面ACE．連接BD交AC于點O，連接OE．利用平行線分線段成比例定理再三角形中的應(yīng)用：可得OE∥DP．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．