【題目】已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線的方程為.

①設(shè)直線與圓交于不同兩點(diǎn)， ，求的取值范圍；

②求與動(dòng)直線恒相切的定橢圓的方程；并探究：若是曲線： 上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在直線： 恒相切的定曲線？若存在，直接寫出曲線的方程；若不存在，說明理由.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1）設(shè)設(shè)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，建立方程，即可求得曲線的方程；（2）①先求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可表示出，再根據(jù)及，即可求得的取值范圍，從而可得的取值范圍；②取， ，直線的方程為，取， 時(shí)，直線的方程為，根據(jù)橢圓對(duì)稱性，猜想的方程為與直線相切，由此聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為恒成立，即可推出存在，若是曲線： 上的動(dòng)點(diǎn)，結(jié)合以上結(jié)論可得與直線相切的定曲線的方程為.

詳解：（1）設(shè)，由題意，得.

整理，得，所以曲線的方程為.

（2）①圓心到直線的距離

∵直線于圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

∴

又∵

∴

由，得.

又∵

∴

∴

因此， ，即的取值范圍為.

②當(dāng)， 時(shí)，直線的方程為；當(dāng)， 時(shí)，直線的方程為，根據(jù)橢圓對(duì)稱性，猜想的方程為.

下證：直線與相切，其中，即.

由消去得： ，即.

∴恒成立，從而直線與橢圓： 恒相切.

若點(diǎn)是曲線： 上的動(dòng)點(diǎn)，則直線： 與定曲線： 恒相切.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，。

Ⅰ.求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

Ⅱ.當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Ⅲ.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，求的最小值。

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【題目】世界那么大，我想去看看，處在具有時(shí)尚文化代表的大學(xué)生們旅游動(dòng)機(jī)強(qiáng)烈，旅游可支配收入日益增多，可見大學(xué)生旅游是一個(gè)巨大的市場(chǎng).為了解大學(xué)生每年旅游消費(fèi)支出（單位：百元）的情況，相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某大學(xué)的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：

組別

頻數(shù)

（Ⅰ）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；

（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布，若該所大學(xué)共有學(xué)生人，試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在元以上；

（Ⅲ）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在范圍內(nèi)的名學(xué)生中有名女生， 名男生，現(xiàn)想選其中名學(xué)生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：若，則，

， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在四面體中, ,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)。

（1）求證: 平面;

（2）求證:四邊形為矩形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；

(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，，平面和平面所成角為，則三棱錐外接球的體積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線方程為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線交橢圓于， 兩點(diǎn).

①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且滿足， .求證： 為定值；

②若（為原點(diǎn)），求面積的取值范圍.

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