Question

若x⁴+ax-4=0的各個(gè)實(shí)根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)i（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、R
• B、∅
• C、（-6，6）
• D、（-∞，-6）∪（6，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：原方程等價(jià)于x³+a=

4

x

，原方程的實(shí)根是曲線y=x³+a與曲線y=

4

x

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象：分a＞0與a＜0討論，可得答案．

解答： 解：方程的根顯然x≠0，原方程等價(jià)于x³+a=

4

x

，
原方程的實(shí)根是曲線y=x³+a與曲線y=

4

x

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而曲線y=x³+a是由曲線y=x³向上或向下平移|a|個(gè)單位而得到的，
若交點(diǎn)（x_i，

4

xi

）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，
因直線y=x與y=

4

x

交點(diǎn)為：（-2，-2），（2，2）；


所以結(jié)合圖象可得

a＞0 (-2)3+a＞-2 x＜-2

或

a＜0 23+a＜2 x＞2

，
解得a＞6或a＜-6．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-6）∪（6，+∞）．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了反比例函數(shù)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)．