Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=2x²，在（0，+∞）上f′（x）＞2x，若f（2-m）+4m-4≥f（m），則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． -1≤m≤1
• B． m≤1
• C． -2≤m≤2
• D． m≥2

Answer 1

分析 利用構(gòu)造法g（x）=f（x）-x²，推出g（x）為奇函數(shù)，判斷g（x）的單調(diào)性，然后推出不等式得到結(jié)果

解答 解：∵f（-x）+f（x）=2x²，∴f（x）-2x²+f（-x）=0，
令g（x）=f（x）-x²，
則g（-x）+g（x）=f（-x）-x²+f（x）-x²=0
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=f′（x）-2x＞0，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
由f（0）=0，∴g（0）=0，
可得g（x）在R上是增函數(shù)．
f（2-m）+4m-4≥f（m）等價(jià)于f（2-m）-（2-m）²≥f（m）-m²，
即g（2-m）≥g（m），
∴2-m≥m，解得m≤1，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，難度中檔．