1.如圖,過原點斜率為k的直線與曲線y=lnx交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2
①k的取值范圍是(0,$\frac{1}{e}$).
②$\frac{1}{x_1}$<k<$\frac{1}{x_2}$.
③當x∈(x1,x2)時,f(x)=kx-lnx先減后增且恒為負.
以上結論中所有正確結論的序號是( 。
A.B.①②C.①③D.②③

分析 構造函數(shù)f(x)=kx-lnx,求導可得f′(x)=k-$\frac{1}{x}$,由已知f(x)有兩個不同的零點,得k>0,進一步可得f(x)在(0,$\frac{1}{k}$)上單調遞減,在($\frac{1}{k},+∞$)上單調遞增,畫圖可得f($\frac{1}{k}$)=1-$ln\frac{1}{k}$<0,則0$<k<\frac{1}{e}$,故①正確;由${x}_{1}<\frac{1}{k}<{x}_{2}$,得$\frac{1}{{x}_{2}}<k<\frac{1}{{x}_{1}}$,故②錯誤;由圖可知,當x∈(x1,x2)時,f(x)=kx-lnx先減后增且恒為負,故③正確.

解答 解:令f(x)=kx-lnx,則f′(x)=k-$\frac{1}{x}$,
由已知f(x)有兩個不同的零點,則k>0,
∴f(x)在(0,$\frac{1}{k}$)上單調遞減,在($\frac{1}{k},+∞$)上單調遞增,
∴f($\frac{1}{k}$)=1-$ln\frac{1}{k}$<0,則0$<k<\frac{1}{e}$,故①正確;
且有${x}_{1}<\frac{1}{k}<{x}_{2}$,∴$\frac{1}{{x}_{2}}<k<\frac{1}{{x}_{1}}$,故②錯誤;
當x∈(x1,x2)時,f(x)=kx-lnx先減后增且恒為負,故③正確.
∴所有正確結論的序號是①③.
故選:C.

點評 本題考查命題的真假判斷與應用,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查數(shù)形結合的解題思想方法,是中檔題.

練習冊系列答案
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11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為$\sqrt{3}$,動點P在對角線BD1上,過點P作垂直于BD1的平面α,記平面α截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y=f(x),設BP=x,x∈(0,3),關于函數(shù)y=f(x):
(Ⅰ)下列說法中,正確的是②③
①當x∈(1,2)時,截面多邊形為正六邊形;
②函數(shù)f(x)的圖象關于$x=\frac{3}{2}$對稱;
③任取x1,x2∈[1,2]時,f(x1)=f(x2).
(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)單調區(qū)間為單調遞增區(qū)間(0,1),單調遞減區(qū)間(2,3).

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16.設函數(shù)f(x)在R上存在導數(shù)f′(x),?x∈R,有f(-x)+f(x)=2x2,在(0,+∞)上f′(x)>2x,若f(2-m)+4m-4≥f(m),則實數(shù)m的取值范圍為( 。
A.-1≤m≤1B.m≤1C.-2≤m≤2D.m≥2

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A.e2f(-2)>f(0),f(2)>e2f(0)B.e2f(-2)<f(0),f(2)<e2f(0)
C.e2f(-2)>f(0),f(2)<e2f(0)D.e2f(-2)<f(0),f(2)>e2f(0)

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13.已知棱錐的頂點為P,P在底面上的射影為O,PO=a,現(xiàn)用平行于底面的平面去截這個棱錐,截面交PO于M,并使截得的兩部分側面積相等,設OM=b,則a,b的關系是( 。
A.b=($\sqrt{2}$-1)aB.b=($\sqrt{2}$+1)aC.b=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$aD.b=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$a

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10.過點A(4,$\frac{3π}{2}$)引圓ρ=4sinθ的一條切線,則切線長為(  )
A.3$\sqrt{3}$B.6$\sqrt{3}$C.2$\sqrt{3}$D.4$\sqrt{2}$

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11.化簡下列各式:
(1)3a(a+1)-(3+a)(3-a)-(2a-1)2
(2)($\frac{{x}^{2}-2x+4}{x-1}$+2-x)÷$\frac{{x}^{2}+4x+4}{1-x}$.

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