Question

（2012•江蘇二模）在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱AB的中點，點P在平面A₁B₁C₁D₁，D₁P⊥平面PCE．
試求：
（1）線段D₁P的長；
（2）直線DE與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，利用D₁P⊥平面PCE，確定P的坐標，從而可求線段D₁P的長；
（2）由（1）知，

DE

=(2，1，0)，

D1P

=(

4

5

，

8

5

，0)，

D1P

⊥平面平面PCE，利用向量的夾角公式可求直線DE與平面PEC所成角的正弦值為

4

5

．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，則D₁（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．

設P（x，y，2），則

D1P

=(x，y，0)，

EP

=(x-2，y-1，2)，

EC

=(-2，1，0)
因為D₁P⊥平面PCE，所以D₁P⊥EP，D₁P⊥EC，
所以

x(x-2)+y(y-1)=0 -2x+y=0

，解得

x=0 y=0

（舍去）或

x= 4 5 y= 8 5

 …（4分）
即P（

4

5

，

8

5

，2），所以

D1P

=(

4

5

，

8

5

，0)，所以D1P=

16 25 + 64 25

=

4 5

5

．…（6分）
（2）由（1）知，

DE

=(2，1，0)，

D1P

=(

4

5

，

8

5

，0)，

D1P

⊥平面平面PCE，
設DE與平面PEC所成角為θ，

D1P

與

DE

所成角為α，則sinθ=|cosα|=|

D1P • DE

|D1P||DE|

|=

16 5

5 • 80 25

=

4

5

所以直線DE與平面PEC所成角的正弦值為

4

5

． …（10分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量表示直線與平面所成角，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，將空間點，線，面之間的關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答此類問題的關(guān)鍵．