Question

已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足f（x+2）=f（x），如果f（x）在[1，2]上增函數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．f（x）在[0，1]上是增函數(shù)
B．f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
C．
D．f（1）不是函數(shù)f（x）的最小值

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)條件可以得出，函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，也是一個(gè)周期函數(shù)，又知其在[1，2]上增函數(shù)，考查四個(gè)選項(xiàng)，分別研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性及最值，比較大小等，故可以先對(duì)函數(shù)的性質(zhì)作綜合研究，由于函數(shù)具有周期性，故可以先研究一個(gè)周期上的性質(zhì)，再推理出整個(gè)定義域上的性質(zhì)，然后再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的正誤作出判斷
解答：解：由題意f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f（x）在[1，2]上增函數(shù)
∴f（x）在[-2，-1]上是減函數(shù)，
又f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)是一個(gè)周期是2的周期函數(shù)
故可得出f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，再由函數(shù)是偶函數(shù)，得f（x）在[0，1]上的圖象與函數(shù)在[-1，0]上圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱，故函數(shù)在[0，2]上的圖象也關(guān)于直線x=1對(duì)稱，再由周期性知，每一個(gè)x=n，n∈Z，這樣的直線都是函數(shù)的對(duì)稱軸
考察四個(gè)選項(xiàng)，B選項(xiàng)是正確的
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，奇偶性，單調(diào)性，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題，解題的關(guān)鍵是綜合利用所給的性質(zhì)對(duì)函數(shù)圖象的特征作出判斷，本題考查了推理判斷的能力，數(shù)形結(jié)合的思想