()(本小題滿分12分)

如圖,四棱錐S-ABCD 的底面是正方形,每條側棱的長都是地面邊長的倍,P為側棱SD上的點。   

(Ⅰ)求證:ACSD;

(Ⅱ)若SD平面PAC,求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,側棱SC上是否存在一點E,使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,試說明理由。

(Ⅰ)略(Ⅱ)(Ⅲ)不在平面內(nèi),故


解析:

解法一:

     (Ⅰ)連BD,設AC交BD于O,由題意。在正方形ABCD中,,所以,得.

      (Ⅱ)設正方形邊長,則。

,所以,

      連,由(Ⅰ)知,所以,

,所以是二面角的平面角。

,知,所以,

即二面角的大小為。

  (Ⅲ)在棱SC上存在一點E,使

由(Ⅱ)可得,故可在上取一點,使,過的平行線與的交點即為。連BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.

解法二:

     (Ⅰ);連,設交于,由題意知.以O為坐標原點,分別為軸、軸、軸正方向,建立坐標系如圖。

   設底面邊長為,則高。

   于是

       

故        從而  

(Ⅱ)由題設知,平面的一個法向量,平面的一個法向量,設所求二面角為,則,所求二面角的大小為

     (Ⅲ)在棱上存在一點使.

      由(Ⅱ)知是平面的一個法向量,

    且  

即當時,

不在平面內(nèi),故

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3
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,
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