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在△ABC中有如下結論：“若點M為△ABC的重心，則
MA
+
MB
+
MC
=
0
設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心．如a
MA
+b
MB
+
3
3
c
MC
=
0
，則內角A的大小為
 
；若a=3，則△ABC的面積為
 
．
分析：由題意得，（a-
3
3
c）
MA
+（b-
3
3
c）
MB
=
0
，∵
MA
 與 
MB
不共線，∴a-
3
3
c=b-
3
3
c=0，余弦定理可求得cosA，從而求得 A  和△ABC面積S．
解答：解：由  a
MA
+b
MB
+
3
3
c
MC
=a
MA
+b
MB
+
3
3
c（-
MA
-
MB
 ）=（a-
3
3
c）
MA
+（b-
3
3
c）
MB
=
0
，
∵
MA
與
MB
不共線，∴a-
3
3
c=b-
3
3
c=0，
∴a=b=
3
3
c，△ABC中，由余弦定理可求得cosA=
3
2
，∴A=
π
6
．
若a=3，則 b=3，c=3
3
，△ABC面積S=
1
2
bcsinA=
1
2
×3×3
3
×
1
2
=
9
3
4
，
故答案為
π
6
； 
9
3
4
．
點評：本題考查兩個向量的運算，余弦定理的應用，求得 a=b=
3
3
c，是解題的難點和關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中有如下結論：“若點M為△ABC的重心，則
MA
+
MB
+
MC
=
0
”，設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心．如果
aMA
+
bMB
+
3
3
cMC
 =
0
，則內角A的大小為
π
6
π
6
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在△ABC中有如下結論：“若點M為△ABC的重心，則
MA
+
MB
+
MC
=
0
”，設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心．如果
aMA
+
bMB
+
3
3
cMC
 =
0
，則內角A的大小為______．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年浙江省寧波市鄞州高級中學高三（上）12月月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

在△ABC中有如下結論：“若點M為△ABC的重心，則++=設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心．如a+b+c=，則內角A的大小為    ；若a=3，則△ABC的面積為    ．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省煙臺市萊州一中高三（上）模塊檢測數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

在△ABC中有如下結論：“若點M為△ABC的重心，則”，設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心．如果，則內角A的大小為    ．

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