在周長為48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°，tanPMN=，求以M、N為焦點，且過點P的雙曲線方程．

思路分析：首先應建立適當?shù)淖鴺讼担捎贛,N為焦點，所以如圖建立直角坐標系，可知雙曲線方程為標準方程．由雙曲線定義可知|PM|-|PN|=2a，|MN|=2c,所以利用條件確定△MPN的邊長是關鍵．

解：∵△MPN的周長為48，且tanPMN=,

∴設|PN|=3k，|PM|=4k，則|MN|=5k．

    由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．

    以MN所在直線為x軸，以MN的中點為原點建立直角坐標系.設所求雙曲線方程為=1（a＞0,b＞0）．

    由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a2=4．

    由|MN|=20，得2c=20,c=10．

    由b2=c2-a2=96，得所求雙曲線方程為=1．

方法歸納 坐標系的選取不同，則曲線的方程不同，但雙曲線的形狀不會變．解題中，注意合理選取坐標系，這樣能使求曲線的方程更簡捷．


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