用數(shù)學(xué)歸納法證明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)．


證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12＝1，

右邊＝×1×(4－1)＝1，等式成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)．

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2

＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋4k2＋4k＋1

＝k[4(k＋1)2－1]－k·4(2k＋1)＋4k2＋4k＋1

＝k[4(k＋1)2－1]＋(12k2＋12k＋3－8k2－4k)

＝k[4(k＋1)2－1]＋[4(k＋1)2－1]

＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]．

即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．

由(1)，(2)可知，對(duì)一切n∈N*，等式都成立．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


函數(shù)y＝圖象上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則以下不可能成為公比的數(shù)是(　　)

A.                                    B.

C.                                  D.

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設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

(1)若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；

(2)若a1＝1，q≠0，且對(duì)所有正整數(shù)n，有Sn＝，判斷{an}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

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觀察下列算式：

13＝1，

23＝3＋5，

33＝7＋9＋11，

43＝13＋15＋17＋19，

……

若某數(shù)m3按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2 013”這個(gè)數(shù)，則m＝________.

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在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為(　　)

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設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達(dá)式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是________．

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已知函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，若f(x)＝4x－15，則不等式的解集是________．

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直線(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，當(dāng)此直線在x，y軸的截距和最小時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是(　　)

A．1                                    B.

C．2                                    D．3

 

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