Question

橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，橢圓左準線與x軸交于E（-4，0），過E點作不與y軸垂直的直線l與橢圓交于A、B兩個不同的點（A在E，B之間）
（1）求橢圓方程；   （2）求△AOB面積的最大值； （3）設橢圓左、右焦點分別為
F₁、F₂，若有

F1A

=λ

F2B

，求實數λ，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，e=

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，結合a²=b²+c²可求a，b，c，從而可求橢圓的方程
（2）設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）由于l不與y軸垂直，設直線l：x=my-4，聯立方程

x=my-4 x2 4 + y2 3 =1

消去x可得（3m²+4）y²-24my+36=0（*），由△＞0可得|m|＞2=

1+m2

12 m2-4

3m2+4

(|m|＞2)，原點O到直線l的距離d=

4

1+m2

，從而可求三角形的面積，利用基本不等式 可求面積的最大值
（3）由

F1A

=λ

F2B

，可得AF₁∥BF₂，根據平行線分線段成比例可求

解答：解：（1）設橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0，c²=a²-b²）
∵e=

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4
∴a=2，b²=3
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）由于l不與y軸垂直，設直線l：x=my-4
聯立方程

x=my-4 x2 4 + y2 3 =1

消去x可得（3m²+4）y²-24my+36=0（*）
由△＞0可得|m|＞2|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

12 m2-4

3m2+4

(|m|＞2)
原點O到直線l的距離d=

4

1+m2

所以△AOB的面積S=

24 m2-4

3m2+4

，令t=

m2-4

＞0，m²=t²+4
則s=

24t

3t2+16

=

24

3t+ 16 t

≤

24

8 3

=

3

，當且僅當t=

4 3

3

即m2=

28

3

時取得最大值
（3）由

F1A

=λ

F2B

，可得AF₁∥BF₂
∴

AF1

BF2

=

EF1

EF2

=

4-1

4+1

=

3

5

實數λ=

3

5

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系的考查，注意利用基本不等式求解最大值的應用．