橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
1
2
，點P（x，y）是橢圓上的一個動點，若2x+
3
y的最大值為10，求橢圓的標準方程．
分析：設橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，由離心率算出a=2c且b=
3
c，因此通過三角換元得2x+
3
y=5csin（θ+φ），其中tanφ=
4
3
．根據(jù)最大值為10得到c=2，由此即可得到該橢圓的標準方程．
解答：解：設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
∵離心率e=
c
a
=
1
2
，
∴a=2c，可得b2=a2-c2=3c2，得b=
3
c
點P（x，y）是橢圓上的一個動點，
設x=acosθ=2ccosθ，y=bsinθ=
3
csinθ
∴2x+
3
y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ），其中tanφ=
4
3

∵2x+
3
y的最大值為10，
∴5c=10，可得c=2，所以a=4，b=2
3

因此橢圓的標準方程為：
x2
16
+
y2
12
=1
點評：本題給出離心率為
1
2
，其上一點P（x，y）滿足2x+
3
y的最大值為10的情況下求橢圓方程，著重考查了橢圓的基本概念、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=
2
2
，點F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，過右焦點F2且垂直于長軸的弦長為
2

（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的左焦點F1作直線l，交橢圓于P，Q兩點，若
F2P
•
F2Q
=2，求直線l的傾斜角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
橢圓中心在原點，焦點在x軸上．離心率為
1
2
，點P（x，y）是橢圓上的一個動點，若2x+
3
y的最大值為10，求橢圓的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，橢圓右準線與x軸交于E（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若M（2，t）（t＞0），直線x+2y-10=0上有且僅有一點P使
PO
•
PM
=0．求以OM為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設橢圓左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過E點作不與y軸垂直的直線l與橢圓交于A，B兩個不同的點（B在E，A之間）若有
F1A
=λ
F2B
，求此時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個橢圓中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P（2，
3
）是橢圓上一點，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為（　�。�

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