Question

15．設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與y軸的交點的縱坐標(biāo)為y_n，令b_n=2y_n，b₁•b₂•…b₂₀₁₀的值為2²⁰¹⁰•2010!．

Answer 1

分析 先求出其導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入，求出切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程，找到切線與y軸的交點的縱坐標(biāo)的表達(dá)式，即可求出結(jié)論．

解答 解：因為y=xⁿ⁺¹，
故y′=（n+1）xⁿ，
所以x=1時，y′=n+1，
則直線方程為y-1=（n+1）（x-1），
令x=0，則y=1-（n+1）=-n，
故切線與y軸的交點為（ 0，-n），
即有b_n=2y_n=-2n，
則b₁•b₂•…b₂₀₁₀=（-2）×（-4）×…×（-4020）
=2²⁰¹⁰•2010!．
故答案為：2²⁰¹⁰•2010!．

點評 當(dāng)題目中遇到求曲線C在點A（m，n）的切線方程時，其處理步驟為：①判斷A點是否在C上②求出C對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)③求出過A點的切線的斜率④代入點斜式方程，求出直線的方程．同時考查運算能力，屬于中檔題．