Question

19．設(shè)x，y∈（-2，2），且xy=-1，則函數(shù)$\frac{4}{4-{x}^{2}}$+$\frac{9}{9-{y}^{2}}$的最小值為$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 由x，y∈（-2，2），且xy=-1，令$a=\frac{x}{2}$，b=$\frac{y}{3}$，則ab=-$\frac{1}{6}$．a(chǎn)∈（-1，1），b∈$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$．則函數(shù)$\frac{4}{4-{x}^{2}}$+$\frac{9}{9-{y}^{2}}$=$\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-^{2}}$≥$\frac{4}{2-{a}^{2}-^{2}}$≥$\frac{4}{2-2ab}$即可得出．

解答 解：由x，y∈（-2，2），且xy=-1，
令$a=\frac{x}{2}$，b=$\frac{y}{3}$，則ab=-$\frac{1}{6}$．a(chǎn)∈（-1，1），b∈$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$．
則函數(shù)$\frac{4}{4-{x}^{2}}$+$\frac{9}{9-{y}^{2}}$=$\frac{1}{1-（\frac{x}{2}）^{2}}+\frac{1}{1-（\frac{y}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-^{2}}$，
∵當(dāng)s，t＞0時，$\frac{2}{\frac{1}{s}+\frac{1}{t}}$$≤\frac{s+t}{2}$，
∴$\frac{1}{s}+\frac{1}{t}≥\frac{4}{s+t}$
∴$\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-^{2}}$≥$\frac{4}{2-{a}^{2}-^{2}}$，
∵a²+b²≥2ab，
∴0＜2-（a²+b²）≤2-2ab，
∴$\frac{4}{2-{a}^{2}-^{2}}$≥$\frac{4}{2-2ab}$=$\frac{12}{7}$，當(dāng)且僅當(dāng)a²=b²=$\frac{1}{6}$時取等號．
∴函數(shù)$\frac{4}{4-{x}^{2}}$+$\frac{9}{9-{y}^{2}}$的最小值為$\frac{12}{7}$．
故選：$\frac{12}{7}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、算能力，屬于中檔題．