設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：(i)f(－1)＝f(1)＝0；(ii)對任意的u、v∈[－1，1]，都有｜f(u)－f(v)｜≤｜u－v｜

(1)

證明：對任意的x∈[－1，1]，都有：

x－1≤f(x)≤1－x

(2)

判斷函數(shù)g(x)＝，是否滿足題設條件

(3)

在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對任意的u、v∈[－1，1]，都有｜f(u)－f(v)｜＝｜u－v｜?若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

(1)

解析：(1)當x∈［－1，1］時，有｜f(x)｜＝｜f(x)－f(x)｜≤｜x－1｜＝1－x，因此x－1≤f(x)≤1－x．

(2)

　　函數(shù)g(x)滿足題設條件．驗證如下：

　　g(－1)＝0＝g(1)；對任意u、v∈［0，1］時，｜g(u)－g(v)｜＝｜(1－u)，(1－v)｜＝｜u－v｜；當u、v∈［－1，0］，同理｜g(u)－g(v)｜＝｜u－v｜；當u·v＜0，不妨設u∈［－1，0］，u∈［0，1］，｜g(u)－g(v)｜＝｜(1－u)，(1－v)｜≤｜v－u｜．

(3)

　　假設存在f(x)滿足條件，則由f(－1)＝f(1)＝0 ①．又由于對任意u、v∈[－1，1]都有｜f(u)－f(v)｜＝｜u－v｜，所以｜f(1)－f(－1)｜＝｜1－(－1)｜＝2②．①與②矛盾，因此假設不成立，即這樣的函數(shù)不存在．

　　點評：本題是典型的存在性問題，對此一般都是從假設符合條件的“對象”存在開始探究．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：中學教材標準學案　數(shù)學　高二上冊 題型：044

設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判斷函數(shù)g(x)＝是否滿足題設條件；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：設計選修數(shù)學－1-2蘇教版 蘇教版 題型：044

(精典回放)設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：①f(－1)＝f(1)＝0；②對任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)證明：對任意的μ、v∈[－1，1]，都有

|f(u)－f(v)|≤1；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù)y＝f(x)，且使得：

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[0，]．

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[，1]．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：泰州市2006～2007學年度第一學期期末聯(lián)考高3數(shù)學試題 題型：022

設y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個條件：(1)y＝f(x)是偶函數(shù)；(2)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱；(3)T＝2為y＝f(x)的一個周期．如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個命題中真命題的個數(shù)有________個．

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科目：高中數(shù)學 來源：江西省遂川中學2008屆高三第一次月考數(shù)學試卷(理) 題型：044

設y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，如果存在A點，對函數(shù)y＝f(x)的圖像上任意點P，P關(guān)于點A的對稱點Q也在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，則稱函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點A對稱，A稱為函數(shù)f(x)的一個對稱點．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，可以證明點A(a，b)是f(x)圖像的一個對稱點的充要條件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函數(shù)f(x)＝x3＋3x2圖像的一個對稱點；

(2)函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源：天津市新人教A版數(shù)學2012屆高三單元測試8：奇偶性及周期性 新人教A版 題型：044

設y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝1對稱，對任意的，都有，且f(1)＝a＞0

(1)求；

(2)證明：y＝f(x)是周期函數(shù)．

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