設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判斷函數(shù)g(x)＝是否滿足題設條件；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　(1)證明：由題設條件可知，當x∈[－1，1]時，有|f(x)|＝|f(x)－f(1)|≤|x－1|＝1－x，即x－1≤f(x)≤1－x．

　　(2)答：函數(shù)g(x)滿足題設條件．驗證如下：g(－1)＝0＝g(1)．

　　對任意u，v∈[－1，1]，

　　當u，v∈[0，1]時，有|g(u)－g(v)|＝|(1－u)－(1－v)|＝|u－v|；

　　當u，v∈[－1，0]時，同理有|g(u)－g(v)|＝|u－v|；

　　當u·v＜0時，不妨設u∈[－1，0)，v∈(0，1]，有|g(u)－g(v)|＝|(1＋u)－(1－v)|＝|u＋v|≤|v－u|＝|u－v|．

　　所以，函數(shù)g(x)滿足題設條件．

　　(3)答：這樣的函數(shù)不存在．理由如下：

　　假設存在f(x)滿足條件，則由f(－1)＝f(1)＝0得

　　|f(1)－f(－1)|＝0．　�、�

　　由于對任意u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|，

　　所以，|f(1)－f(－1)|＝|1－(－1)|＝2．　　②

　�、倥c②矛盾，因此假設不成立，即這樣的函數(shù)不存在．


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科目：高中數(shù)學 來源：設計選修數(shù)學－1-2蘇教版 蘇教版 題型：044

(精典回放)設y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：①f(－1)＝f(1)＝0；②對任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)證明：對任意的μ、v∈[－1，1]，都有

|f(u)－f(v)|≤1；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù)y＝f(x)，且使得：

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[0，]．

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[，1]．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

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設y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個條件：(1)y＝f(x)是偶函數(shù)；(2)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；(3)T＝2為y＝f(x)的一個周期．如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個作為條件，余下一個作為結論，那么構成的三個命題中真命題的個數(shù)有________個．

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(2)函數(shù)

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設y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于x＝1對稱，對任意的，都有，且f(1)＝a＞0

(1)求；

(2)證明：y＝f(x)是周期函數(shù)．

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