【題目】已知函數(shù)y=f(x)(x≠0)對于任意的x,y∈R且x,y≠0滿足f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(﹣1)的值;
(2)求證:y=f(x)為偶函數(shù);
(3)若y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),解不等式

【答案】
(1)解:∵對于任意的x,y∈R且x,y≠0滿足f(xy)=f(x)+f(y),

∴令x=y=1,得到:f(1)=f(1)+f(1),

∴f(1)=0,

令x=y=﹣1,得到:f(1)=f(﹣1)+f(﹣1),

∴f(﹣1)=0


(2)證明:由題意可知,令y=﹣1,得f(﹣x)=f(x)+f(﹣1),

∵f(﹣1)=0,∴f(﹣x)=f(x),

∴y=f(x)為偶函數(shù)


(3)解:由(2)函數(shù)f(x)是定義在非零實數(shù)集上的偶函數(shù).

∴不等式 可化為 ,f(| |)≤f(1),

,即:﹣6≤x(x﹣5)≤6且x≠0,x﹣5≠0,

在坐標(biāo)系內(nèi),如圖函數(shù)y=x(x﹣5)圖象與y=6,y=﹣6兩直線.

由圖可得x∈[﹣1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6],

故不等式的解集為:[﹣1,0)∪(0,2]∪[3,5)∪(5,6].


【解析】(1)賦值法:在所給等式中,令x=y=1,可求得f(1),令x=y=﹣1可求得f(﹣1);(2)在所給等式中令y=﹣1,可得f(﹣x)與f(x)的關(guān)系,利用奇偶性的定義即可判斷;(3)由題意不等式 可化為f(| |)≤f(1),根據(jù)單調(diào)性即可去掉符號“f”,轉(zhuǎn)化為具體不等式即可解得.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識,掌握兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系,以及對函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的理解,了解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

練習(xí)冊系列答案
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A.3
B.4
C.5
D. +1

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(2)當(dāng)a>0時,設(shè)g(x)=(x2﹣2x)ex , 求證:對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立.

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(2)求二面角A1﹣BD﹣A的大。
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(1)設(shè) ,求t的最大值與最小值
(2)求f(x)的值域.

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(1)若y=f(x)在[4,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a≥ 時,設(shè)g(x)=ln[x2(ax+1)]+ ﹣3ax﹣f(x)(x>0)的兩個極值點x1 , x2(x1<x2)恰為φ(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零點,求y=(x1﹣x2)φ′( )的最小值.

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設(shè)f(x)=t1t2

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(Ⅱ)當(dāng)x等于多少時,f(x)取得最小值?

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