Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=6，BC=BB1=

2

，點(diǎn)P是線段BC₁上的一動(dòng)點(diǎn)，則AP+PB₁的最小值是（　�。�

• A、2+

  2

• B、不等的實(shí)數(shù)根．結(jié)合圖形可知：k∈(0，

  4

  27

  )
• C、4

  2

• D、5

  2

Answer 1

分析：如圖，將△BB₁C₁沿BC₁為軸旋轉(zhuǎn)至與平面ABC₁共面，得△BB₁C₁，可得出∠ABB₁=135°，由余弦定理求出此時(shí)的AB₁的長度，再比較四個(gè)選項(xiàng)，選出正確答案

解答：解：如圖，將△BB₁C₁沿BC₁為軸旋轉(zhuǎn)至與平面ABC₁共面，
得△BB₁C₁，
則∠ABB₁=135°，故 AP+PB₁=AP+PB₁≥AB1=

62+( 2 )2-2×6× 2 cos135°

=5

2

．
等號當(dāng)且僅當(dāng)P為AB₂與BC₁的交點(diǎn)時(shí)取得．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，求解本題的關(guān)鍵是借助圖形的翻折，將求折線長度的問題轉(zhuǎn)化為平面上線段長度的問題求解，熟練掌握棱柱的幾何特征及余弦定理也求解這個(gè)題的知識(shí)上的保證．本題易因?yàn)闆]有想起轉(zhuǎn)化方向而導(dǎo)致解題失敗