Question

設函數(shù)f（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-m在[-1，2]上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=+xlnx，如果對任意的x₁，x₂∈[，2]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接把原函數(shù)求導，由導函數(shù)等于0得到導函數(shù)的零點，由零點對定義域分段，由導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構造輔助函數(shù) h（x）=f（x）-m，由導函數(shù)求出該函數(shù)的最值，要保證函數(shù)y=f（x）-m在[-1，2]上有三個零點，可由最小值和最大值的符號結合端點值的正負列式求解不等式組即可得到實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅰ）中的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值，則問題對任意的x₁，x₂∈[，2]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立轉化為只需當時，恒成立即可，即等價于a≥x-x²lnx恒成立，然后利用導數(shù)求函數(shù)u（x）=x-x²lnx在區(qū)間[]上取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍可求．
解答：解析：（Ⅰ）由f（x）=x³-x²-3．
得f^′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
當f^′（x）＞0時，解得x＜0或；
當f^′（x）＜0時，解得．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-m，則h（x）=x³-x²-3-m，∴h^′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
由（Ⅰ）知，當函數(shù)h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
函數(shù)h（x）在x=0處取得極大值h（0）=-3-m，在處取得極小值，
由函數(shù)y=f（x）-m在[-1，2]上有三個零點，則有：
，即，解得，
故實數(shù)a的取值范圍是．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而，f（2）=1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值f（x）_max=f（2）=1．
∴只需當時，恒成立即可，即等價于a≥x-x²lnx恒成立，所以，記u（x）=x-x²lnx，所以a≥u（x）_max，u^′（x）=1-x-2xlnx，可知u^′（1）=0，
當時，1-x＞0，2xlnx＜0，則u^′（x）＞0，∴u（x）在上單調(diào)遞增；
當x∈（1，2）時，1-x＜0，2xlnx＞0，則u^′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；
故當x=1時，函數(shù)u（x）在區(qū)間[]上取得最大值u（1）=1，
所以a≥1，故實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考察了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，考查了數(shù)學轉化思想方法和函數(shù)構造法，訓練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是有一定難度題目．