已知橢圓C
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為
2
2
．直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若線段AB的垂直平分線通過點(0，-
1
2
)，證明：2k2+1=2m；
（3）在（2）的前提下，求△AOB（O為原點）面積的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用待定系數(shù)法求出a，b的值即可求出橢圓的標準方程；
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明；
（3）借助于弦長公式表示出三角形的面積公式，再求出面積的最大值即可．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的標準方程
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）
由已知可得
e=
c
a
=
2
2
2b=2
a2=b2+c2

解得a2=2，b2=1．
故橢圓C的標準方程
x2
2
+y2=1． 

（2）聯(lián)立方程
y=kx+m
x2
2
+y2=1
，消y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
當△=8（2k2-m2+1）＞0，
即2k2+1＞m2①時，x1+x2=
-4km
1+2k2
，x1•x2=
2m2-2
1+2k2
．
所以
x1+x2
2
=
-2km
1+2k2
，
y1+y2
2
=
m
1+2k2
．
又
y1+y2
2
-(-
1
2
)
x1+x2
2
-0
=-
1
k
，
化簡整理得：2k2+1=2m②．

（3）代②入①得：0＜m＜2．
又原點O到直線AB的距離為d=
|m|
1+k2
．
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=2
1+k2
4k2-2m2+2
1+2k2
．
所以S△AOB=
1
2
|AB|•d=
|m|
4k2-2m2+2
1+2k2
．
而2k2+1=2m且0＜m＜2，
則S△AOB=
1
2
4m-2m2
，0＜m＜2．
所以當m=1，即k2=
1
2
時，S△AOB取得最大值
2
2
．
點評：本題考查的知識點橢圓的標準方程、直線與橢圓的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面上三個向量
OA
，
OB
，
OC
，滿足|
OA
|=1，|
OB
|=
3
，|
OC
|=1，
OA
•
OB
=0，則
CA
•
CB
的最大值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點（-2，0），且與直線3x-y+1=0平行的直線方程式（　�。�
A、y=3x-6
B、y=3x+6
C、y=3x-2
D、y=-3x-6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=3-|log2x|-4|x-1|的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x||x|＜3}，B={x|y=lg（x-1）}，則集合A∩B為（　�。�
A、[0，3）
B、[1，3）
C、（1，3）
D、（-3，1]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={x|
x+1
x-3
≤0}，則A∩B=（　�。�
A、[-1，3]
B、{-1，3}
C、{-1，1}
D、{-1，1，3}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如如所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
（Ⅰ）證明：BN⊥平面C1B1N；
（Ⅱ）求三棱錐C1-CNB1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知復數(shù)z=
3
2
i-
1
2
，則z的共軛復數(shù)為（　�。�
A、
1
2
-
3
2
i
B、
1
2
+
3
2
i
C、-
1
2
-
3
2
i
D、-
1
2
+
3
2
i

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有以下幾種敘述：
①函數(shù)f（x）=|x+a|-|x-a|（a∈R）為奇函數(shù)；
②若函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱；
③設(shè)（a，b），（c，d）都是函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（b＜c），且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）；
④已知函數(shù)f（x）=
-x2+2ax，
 (x≤1)
ax+1，(x＞1)
，若存在x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞）；
以上說法正確的是
 
．（寫出你認為正確的所有命題的序號）

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