Question

（2009•虹口區(qū)二模）數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），λ為非零常數(shù)
（1）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}成為等差數(shù)列或者成為等比數(shù)列，若存在則找出所有的λ，并求出對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式；若不存在則說明理由；
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，記b_n=a_n+

1

9

×2ⁿ，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．分兩種情況討論①數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，得λ²-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程無實(shí)根，故不存在實(shí)數(shù)λ，②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列得（2+2λ）²=2（2λ²+2λ+4），解得λ=1，a_n+1=a_n+2ⁿ解得a_n=2ⁿ，故存在實(shí)數(shù)λ=1，使得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
（2）λ=1時(shí)由（1）可得，bn=2n+

2n

9

=

10

9

•2n，容易證明
（3）①當(dāng)λ=1時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．②當(dāng)λ=2時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列 {

an

2n

}求解，，③當(dāng)λ≠1且λ≠2時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列 {an+

2n

λ-2

}求解．

解答：解：（1））a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4（1分）
①若數(shù)列{a_n}為等}為等差數(shù)列，則得λ²-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程無實(shí)根，故不存在實(shí)數(shù)λ，（3分）
②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列得（2+2λ）²=2（2λ²+2λ+4），解得λ=1
則a_n+1=a_n+2ⁿ
a₂-a₁=2
a₃-a₂=2²
…
a_n-a_n-1=2^n-1
由累加法得：a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-2
解得a_n=2ⁿ（n≥2）
顯然，當(dāng)n=1時(shí)也適合，故a_n=2ⁿ（n∈N*）．
故存在實(shí)數(shù)λ=1，使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ（6分）
（2）λ=1時(shí)由（1）可得，bn=2n+

2n

9

=

10

9

•2n，
∴

bn+1

bn

=2
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列
（3））①當(dāng)λ=1時(shí)，a_n=2ⁿ，
由等比數(shù)列的求和公式可得，Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2（7分）
②當(dāng)λ=2時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列 {

an

2n

}求解，，③當(dāng)λ≠1且λ≠2時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列 {an+

2n

λ-2

}求解．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道數(shù)列綜合題，情景熟悉，貌似簡(jiǎn)單，入手也不難，但綜合程度之高令人嘆為觀止．無論是分類討論的思想，還是反證推理、求數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和都考查得淋漓盡致，累加法和待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)、錯(cuò)位相減法和分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，幾乎數(shù)列的所有知識(shí)和方法都熔于一爐．