Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=1+ax（a∈R），
（1）若a=-1，解不等式|f（x）|≤g（x）；
（2）討論關于x的方程|f（x）|=g（x）的根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，則|f（x）|≤g（x）可化為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≤1-x}\\{{x}^{2}-1≥x-1}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）作函數(shù)f（x）=x²-1與函數(shù)g（x）=1+ax的圖象，從而結合圖象分情況討論即可．

解答 解：（1）若a=-1，則|f（x）|≤g（x）可化為
|x²-1|≤1-x，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≤1-x}\\{{x}^{2}-1≥x-1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{x≥1或x≤0}\end{array}\right.$；
故不等式的解集為[-2，0]∪{1}；
（2）作函數(shù)f（x）=x²-1與函數(shù)g（x）=1+ax的圖象如下，
，
函數(shù)g（x）=1+ax的圖象是一條過點（0，1）的直線，斜率為a，
結合圖象可知，
當a=0或a=±1時，
函數(shù)f（x）=x²-1與函數(shù)g（x）=1+ax的圖象有三個交點，
即方程|f（x）|=g（x）有三個不同的根，
當a＜-1或a＞1時，
函數(shù)f（x）=x²-1與函數(shù)g（x）=1+ax的圖象有兩個交點，
即方程|f（x）|=g（x）有兩個不同的根，
當-1＜a＜1且a≠0時，
函數(shù)f（x）=x²-1與函數(shù)g（x）=1+ax的圖象有四個交點，
即方程|f（x）|=g（x）有四個不同的根．

點評 本題考查了數(shù)形結合的思想應用及分類討論的思想應用，同時考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關系應用．