Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是減函數，求實數λ的取值范圍；
（3）設函數h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函數在定義域范圍內不存在零點，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．我們易根據出關于系數a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c值后，即可得到函數f（x）的解析式；
（2）由（1）的結論及g（x）=f（-x）-λf（x）+1，我們可以得到g（x）的表達式，由于其解析式為類二次函數的形式，故要對二次項系數進行分類討論，最后綜合討論結果即可得到實數λ的取值范圍；
（3）由函數h（x）=log₂[p-f（x）]在定義域內不存在零點，則根據真數必須大于0，1的對數等于0的法則，我們可以構造出一個關于p的不等式組，解不等式組，即可得到答案．

解答：解：（1）設f（x）=ax（x+2），又a＞0，f（-1）=-1，
∴a=1，
∴f（x）=x²+2x．（4分）
（2）∵g（x）=f（-x）-λf（x）+1，
∴g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1，
①當λ=1時，g（x）=-4x=1在[-1，1]上是減函數，滿足要求；
②當λ≠1時，對稱軸方程為：x=

1+λ

1-λ

．
ⅰ）當λ＜1時，1-λ＞0，所以

1+λ

1-λ

≥1，解得0≤λ＜1；
ⅱ）當λ＞1時，1-λ＜0，所以

1+λ

1-λ

≤-1，解得λ＞1．
綜上，λ≥0．（7分）
（3）函數h（x）=log₂[p-f（x）]在定義域內不存在零點，必須且只須有
p-f（x）＞0有解，且p-f（x）=1無解．
即[p-f（x）]max＞0，且1不在[p-f（x）]的值域內．
f（x）的最小值為-1，
∴函數y=p-f（x）的值域為（-∞，p+1]．
∴

p+1＞0 1＞p+1

，解得-1＜p＜0．
∴p的取值范圍為（-1，0）．（10分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，對數函數的單調性與特殊點，其中根據已知條件確定出函數f（x）的解析式是解答本題的切入點和關鍵．