已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3）．
（1）若方程f（x）=-7a有兩個相等的實數(shù)根，求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間數(shù)學公式內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

解：（1）∵f（x）-2x＞0的解集為（-1，3），
∴可設f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax2+2（1-a）x-3a①
由f（x）+7a=0得ax2+2（1-a）x+4a=0②
∵方程②有兩個相等的根，
∴△=4（1-a）2-16a2=0，
即3a2+2a-1=0解得a=-1或
由于a＜0，（舍去），將a=-1代入①得f（x）的解析式f（x）=-x2+4x+3．
（2）g（x）=xf（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax，
∵g（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a在上的函數(shù)值非正，
由于a＜0，對稱軸，
故g（x）≤
注意到a＜0，∴a2+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范圍是（-∞，-1]．
分析：（1）依據(jù)不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3），可設函數(shù)f（x）-2x的解析式為（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）=-7a有兩個相等的實數(shù)根，通過△求出a的值最后代入f（x）即可．
（2）根據(jù)若函數(shù)g（x）區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，通過導函數(shù)g′（x）＜0，求a的取值范圍．
點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．步驟一般是首先確定所求問題含待定系數(shù)的解析式．其次根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程．最后解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決．
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已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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