Question

已知函數f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的兩個極值點x₁，x₂，且x₁，x₂分別是一個橢圓和一個雙曲線的離心率，點P（m，n）表示的平面區(qū)域為D，若函數y=a^x+4-7（a＞1）的圖象存在區(qū)域D內的點，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、（2，+∞）
• B、[2，+∞）
• C、[1，2]
• D、（1，2）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：根據極值的意義可知，極值點x₁、x₂是導函數等于零的兩個根，可得方程x²+mx+

1

2

（m+n）=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區(qū)域為D，進而利用函數y=a^x+4-7（a＞1）的圖象存在區(qū)域D內的，可求實數a的取值范圍．

解答： 解：求導函數可得y'=x²+mx+

1

2

（m+n），
依題意知，方程y'=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
構造函數f（x）=x²+mx+

1

2

（m+n），
∴

f(0)＞0 f(1)＜0

，∴

m+n＞0 2+3m+n＜0

，
∵直線m+n=0，2+3m+n=0的交點坐標為（-1，1）
∴要使函數y=a^x+4-7（a＞1）的圖象存在區(qū)域D內的點，則必須滿足1＜a^-1+4-7，
∴a³＜8，解得a＞2，
故選A．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，屬于中檔題．